Pour les Petits Dallais, il est d’une grande importance de connaître l’heure de la marée haute et de la marée basse, de savoir s’il s’agit d’une grande marée, ou « vive-eau », ou d’une petite marée, ou « morte-eau ». C’est pour cela que le livret du Syndicat d’initiative des Petites Dalles qui publie le calendrier des marées leur est indispensable. On sait bien que l’attraction de la Lune est responsable des marées, mais pourquoi donc y a-t-il deux marées hautes et deux marées basses par jour ?
Depuis l’Antiquité on a cherché à comprendre les marées. Héraclide (388-315 avant notre ère), puis Pline l’Ancien (23-79 de notre ère) observent la relation qu’il y a entre les cycles de la lune et la marée, et en déduisent que la Lune et le Soleil sont à l’origine des marées. Au XVIIe siècle, Galilée (1564-1642) qui avait établi la relation existant entre la longueur d’un pendule et sa période, pense que le mouvement des marées est analogue à celui du pendule. Il était sur la bonne voie. Il pensait trouver dans le mouvement des marées la preuve de la rotation de la Terre. Son contemporain Kepler (1571-1630), qui attribuait les marées à l’attraction de la Lune, avait vu juste. Plus tard, Newton (1642-1727) découvre la loi de la gravitation universelle : la force d’attraction entre deux corps est proportionnelle aux masses de ces corps et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
Or, l’eau des océans subit l’attraction de la Terre : la pesanteur, l’attraction de la Lune et celle du Soleil. La loi de la gravitation universelle conduit à la théorie statique de la marée. Elle permet de déterminer la position d’équilibre de la mer sous l’effet de la pesanteur, et de l’attraction de la Lune et du Soleil. Cette théorie explique bien qu’il y ait deux marées par jour. En revanche, les marnages qu’on en déduit, c’est-à-dire les différences de niveau entre la marée haute et la marée basse, sont beaucoup plus faibles que ceux qu’on observe. D’après cette théorie, le marnage ne devrait pas dépasser 75 cm. Nous sommes loin des 15 m qui peuvent être observés à Saint-Malo.
C’est Pierre Simon de Laplace (1749-1827) qui propose une nouvelle approche.
Laplace avait été examinateur pour l’admission à l’école d’artillerie, et à ce titre examina Bonaparte en 1784. En l’an III, il est professeur à l’École normale fondée par la Convention. Dans cette école, ce ne sont pas les sciences qu’on enseigne, mais l’art de les enseigner. Jusqu’à aujourd’hui, le nom de Laplace est connu de tous les étudiants en mathématiques et en physique du monde entier.
Pour décrire les marées, Laplace comprend qu’il faut tenir compte du mouvement et des forces d’inertie. Plutôt que de résoudre un problème de mécanique céleste et de mécanique des fluides d’une extrême complexité, Laplace propose de retenir que les marées sont le résultat de la superposition de plusieurs composantes périodiques. Les amplitudes, les périodes et les phases de chacune d’elles doivent être déterminées par des mesures expérimentales. C’est « l’analyse harmonique » des marées. Cette analyse permet effectivement de prévoir avec une grande précision les marnages.
À l’origine, le but de l’analyse harmonique est de comprendre comment est produit un son lorsqu’on pince la corde d’une guitare et comment il est amplifié par la caisse de l’instrument, ou bien comment un son est obtenu en soufflant dans une flûte ou dans un tuyau d’orgue. C’est d’Alembert, qui est, avec Diderot, à la tête de cette entreprise gigantesque qu’est l’Encyclopédie, qui a établi l’équation des cordes vibrantes.
Le son émis par l’instrument de musique est le résultat de la superposition de mouvements périodiques : le son fondamental et les harmoniques dont les fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale. Les amplitudes relatives de ces harmoniques varient d’un instrument à l’autre et ces relations sont responsables du timbre de l’instrument. Le principe de décomposer une oscillation en une superposition d’oscillations élémentaires fut repris par Fourier. C’est pourquoi l’analyse harmonique est aussi appelée « analyse de Fourier ».
Un problème célèbre de l’analyse harmonique s’énonce : peut-on entendre la forme d’un tambour ? Habituellement le tambour se compose d’une membrane tendue sur un cercle. Mais on peut imaginer que le bord du tambour sur lequel est tendue la membrane soit un cercle déformé, par exemple qu’il ait une forme ovale. On peut aussi poser le problème autrement : deux tambours qui font entendre le même son ont-ils la même forme ?
Plus précisément, est-il possible de déterminer la courbe qui limite le tambour à partir de la connaissance de la suite des fréquences propres du tambour ? Weyl, de Göttingen, a montré qu’il était possible de déduire de cette connaissance l’aire du tambour (1911). Puis Pleijel, d’Uppsala, a montré qu’on pouvait en déduire la longueur de la courbe qui limite le tambour (1954). Il y a une relation entre l’aire A et cette longueur L : 4 π A ≤ L², et l’égalité n’a lieu que dans le cas d’un cercle. La démonstration de cette inégalité est un exercice classique sur les séries de Fourier.
Ainsi, si la suite des fréquences propres conduit à une aire A et une longueur L telles que 4 π A = L², on est assuré qu’il s’agit d’un tambour circulaire. Mais c’est un résultat bien théorique. En effet, les résultats démontrés par Weyl et Pleijel supposent la connaissance des très grandes fréquences propres. Or l’oreille humaine ne perçoit pas les sons dont la fréquence est supérieure à 20 000 hertz. Dans son mémoire sur les équations de la physique mathématique, Henri Poincaré (1854-1912) a étudié ce problème des membranes vibrantes (je précise le prénom, car c’est son cousin Raymond Poincaré qui fut président de la République). Pour Henri Poincaré, le mouvement des marées est analogue aux vibrations d’une membrane d’épaisseur variable, la profondeur de la mer étant l’analogue de cette épaisseur.
Nous voilà revenus à l’analyse harmonique des marées. Les deux acteurs principaux sont la Lune et le Soleil. Le Soleil est beaucoup plus éloigné de la Terre que la Lune, mais la masse du Soleil est beaucoup plus grande que la masse de la Lune. D’après la loi de la gravitation universelle, l’attraction est proportionnelle à la masse et inversement proportionnelle au carré de la distance. Mais, ce qui compte, c’est la différence entre l’attraction à la surface de la Terre et l’attraction au centre de la Terre. Si m est la masse de la Lune et d la distance de la Terre à la Lune, cette différence est sensiblement proportionnelle à 2mR/d³, où R est le rayon du globe terrestre. Par suite, si M est la masse du Soleil, et D la distance de la Terre au Soleil, le rapport de l’action de la Lune à celle du Soleil est égal à (m/d³) : (M/D³).
- Distance de la Terre à la Lune : d = 384 400 km
- Masse de la Lune : m = 735.10²⁰ kg
- Distance de la Terre au Soleil : D = 149,5.10⁶ km
- Masse du Soleil : M = 1,99.10³⁰ kg
On trouve un rapport de 2,17. L’action du Soleil n’est donc pas négligeable.
L’action combinée de la Lune et du Soleil est forte lorsque l’angle des directions de la Lune et du Soleil est proche de 180° (pleine Lune et nouvelle Lune), et faible lorsque cet angle est proche de 90° (premier quart et troisième quart).
Suivant Laplace, la hauteur de la marée est la somme de composantes périodiques. Contrairement aux harmoniques d’une corde vibrante, les fréquences de ces composantes ne sont pas les multiples d’une fréquence fondamentale. La hauteur de la marée n’est pas périodique, mais presque périodique. Avec une bonne approximation, les éclipses se produisent avec une période de 18 ans et 11 jours.
La marée, c’est-à-dire la hauteur du niveau de l’eau, résulte principalement de la superposition :
- d’une composante diurne, qui présente un maximum et un minimum par jour lunaire ;
- d’une composante semi-diurne, qui présente deux maxima et deux minima par jour ;
- de composantes de longue période, mensuelle, annuelle.
L’importance relative de ces composantes n’est pas la même en tout point du globe. Il en résulte différents types de marées :
- Type semi-diurne : deux marées hautes et deux marées basses par jour de même amplitude.
C’est celui qu’on observe aux Petites Dalles et, plus généralement, sur les côtes de l’océan Atlantique.
- Type semi-diurne à inégalité diurne : deux marées hautes et deux marées basses par jour, d’amplitudes inégales (par exemple, au Vietnam).
- Type mixte : tantôt deux marées hautes et deux marées basses par jour, tantôt une seule (par exemple, en Indonésie).
- Type diurne : une marée haute et une marée basse par jour (par exemple, en Sibérie).
L’origine des périodes est astronomique. La Terre tourne sur elle-même en 24 heures et la Lune tourne autour de la Terre en un peu moins d’un mois. Il en résulte que les marées se produisent avec une période de 24 heures et 50 minutes. Les grandes marées se succèdent avec une période égale à la moitié d’un mois lunaire.
L’origine des phases est plus difficile à comprendre. Elles sont en relation avec la profondeur de la mer et avec la forme du littoral. Les marées hautes se produisent aux Petites Dalles deux heures plus tard qu’à Cherbourg et approximativement deux jours après les pleines lunes et les nouvelles lunes. Pline l’Ancien compara ce retard à celui du tonnerre qui suit l’éclair. La marée haute se produit alors en milieu de journée. En revanche, à Roscoff, c’est la marée basse qui se produit en milieu de journée, ce qui est préférable pour les pêcheurs à pied.
Les amplitudes dépendent très fortement du lieu. Les forces d’attraction de la Lune et du Soleil ne sont pas plus grandes à Saint-Malo qu’en un autre point du littoral de la Manche. Pourtant les amplitudes y sont beaucoup plus fortes qu’aux Petites Dalles. Cela peut s’expliquer par un phénomène de résonance. Pour les mouvements vibratoires, la résonance a lieu si la fréquence de la force agissante est proche de la fréquence propre de l’objet sur lequel elle agit. Permettons-nous une comparaison : le sonneur amplifie le balancement d’une cloche par de faibles tractions sur la corde suivant le rythme propre du balancement de la cloche.
En 1910, on avait fabriqué une machine à calculer les marnages qui prenait en compte 10 composantes harmoniques. Cette machine est restée en usage jusqu’en 1960. Aujourd’hui les satellites peuvent mesurer le niveau de la mer en tout point des océans avec une précision de 2 cm. La puissance de calcul des ordinateurs permet de prendre en compte un très grand nombre de paramètres. Les niveaux de la mer sont connus en tout point et à tout moment avec une grande précision, mais la compréhension des marées est un problème d’hydrodynamique d’une extrême complexité ; comme le dit Poincaré, il faut tenir compte de l’attraction de la Lune et du Soleil, de l’inertie des masses liquides des océans, de la présence des continents, de la rotation de la Terre, de la force centrifuge. La prédiction très précise des marées ne signifie pas que le phénomène soit bien compris.
Bibliographie
Odile Guérin, Comprendre les marées, Éditions Ouest-France, 2001
Bernard Simon, La marée, Institut océanographique, Fondation Albert Ier, prince de Monaco, 2007
Martine Valo, « Le rythme vital des marées », Le Monde, 27-28 août 2023
Pierre-Simon de Laplace, Traité de mécanique céleste, Paris, An III
Henri Poincaré, Sur l’équilibre et les mouvements des marées, Journal de mathématiques pures et appliquées, 5e série, tome 2, 1896
Mark Kac, Can One Hear the Shape of a Drum? Amer. Math. Monthly, 73, 1966